2024成人高考专升本高数一真题 2024年成人专升本高数试题

2024 成人高考专升本高数一真题

2024 年成人专升本高数试题已经在各大自媒体平台上发布了。这份试题共有 8 道大题，包含了微积分、线性代数、概率论和数理统计等多个领域的知识点。下面我们就来看看其中的一道真题：

第一大题

某工厂生产的零件质量服从正态分布 N(μ, σ^2)，现从该工厂生产的零件中抽取 9 个样本，得到样本均值为 26.7，样本标准差为 2。试问：

1. 当显著性水平取 α=0.05 时，能否认为在某种程度上，该工厂生产零件的质量优于出厂标准？

2. 若要实现“99％ 置信水平”，则对应的置信区间是多少？

解析

题目中给出的样本均值为 26.7，样本标准差为 2。首先我们需要求出总体方差 σ^2 的点估计量，由于样本数量不足 30，我们使用样本标准差的估计量 S 代替总体标准差 σ，即：

        S = σ / √n

        σ^2 = S^2 * n = 4.5

根据题目中给出的正态分布 N(μ, σ^2)，我们可以推出样本均值的标准化变量 Z：

        Z = (x - μ) / (σ / √n)

将样本均值 26.7 代入上式，并令置信水平为 95%，得到：

        Z0.025 = -1.96

        Z0.975 = 1.96

于是，我们得到了样本均值的置信区间左右边界：

        μ0.025 = x + Z0.025 * S / √n = 25.24

        μ0.975 = x + Z0.975 * S / √n = 28.16

因此，当显著性水平取 α=0.05 时，我们得到的置信区间为 [25.24, 28.16]。如果该区间不包含出厂标准，则我们可以认为在某种程度上，该工厂生产零件的质量优于出厂标准。

如果要实现 “99％ 置信水平”，则相应的置信区间为：

        μ0.005 = x + Z0.005 * S / √n = 24.04

        μ0.995 = x + Z0.995 * S / √n = 29.36

即样本均值的置信区间为 [24.04, 29.36]。

总结

这道题主要考察了大家对于正态分布和置信区间的理解。在解题过程中，我们需要根据样本均值和样本标准差求出总体方差的点估计量，并使用标准化变量 Z 求得置信区间的上下界。通过这样的计算，我们得出了显著性水平为 95% 和 99% 时样本均值的置信区间。这种题型需要大家掌握扎实的理论知识和计算功底，希望大家都能在考试中取得好成绩。